Question

已知命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不等的負根，命題q：4x²+4（m-2）x+1=0無實根，P且q為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p為真，由一元二次方程的判別式和韋達定理，聯列不等式組并解之得m＞2；若命題q為真，則方程4x²+4（m-2）x+1=0的根的判別式小于0，解之得1＜m＜3．命題p且q為真，說明命題p和q都是真命題，取交集即得實數m的取值范圍．

解答：解：由題意，得p：

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2=1 ＞0

，解之得m＞2，
q：△=16（m-2）²-16=16（m²-4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…（6分）
∵p且q為真，
∴p，q同時為真，則

m＞2 1＜m＜3

，解之得2＜m＜3，…（9分）
∴實數m的取值范圍是2＜m＜3．…．（12分）

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了一元二次方程根與系數的關系、一元二次方程根的判別式和不等式的解法等知識，屬于基礎題．