Question

已知f(x)是二次函數，f′(x)是它的導函數，且對任意的x∈R，f′(x)=f(x+1)+x²恒成立．
(Ⅰ)求f(x)的解析表達式；
(Ⅱ)設t＞0，曲線C：y=f(x)在點P(t，f(t))處的切線為l，l與坐標軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設f(x)=ax²+bx+c（其中a≠0） 則f′(x)=2ax+b，
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c，
由已知，得2ax+b=(a+1)x²+(2a+b)x+a+b+c，
∴，解得：a=-1，b=0，c=1，
∴f(x)=-x²+1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，P(t，1-t²)，切線l的斜率k=f′(t)=-2t，
切線l的方程為y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=2tx+t²+1，
從而l與x軸的交點為，l與y軸的交點為，
∴（其中t＞0），
∴，
當時，S′(t)＜0，S(t)是減函數；
當時，S′(t)＞0，S(t)是增函數，
∴。