Question

已知以點P為圓心的圓過點A（-1，0）和B（3，4），線段AB的垂直平分線交圓P于點C、D，且|CD|=4

10

．
（1）求直線CD的方程；
（2）求圓P的方程；
（3）設點Q在圓P上，試探究使△QAB的面積為8的點Q共有幾個？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）直線CD是線段AB的垂直平分線，所以由直線AB的斜率與直線CD的斜率互為負倒數，同時，線段AB的中點在直線CD上，由點斜式求得直線CD的方程．
（2）設圓心P（a，b），則由P在CD上得a+b-3=0 ①又直徑|CD|=4

10

，|PA|=2

10

 即（a+1）²+b²=40 ②由①②消去a得b²-4b-12=0，求得圓心．
（3）易知|AB|=

42+42

=4

2

，由三角形面積公式求得AB上高和圓心到直線的距離，再由“若兩距離之和等于半徑則有三個點，若小于半徑有四個點，若大于半徑有兩個點”判斷即可．

解答：解：（1）∵k_AB=1，AB的中點坐標為（1，2）
∴直線CD的方程為：y-2=-（x-1）即x+y-3=0；
（2）設圓心P（a，b），
則由P在CD上得a+b-3=0 ①
又直徑|CD|=4

10

，∴|PA|=2

10

∴（a+1）²+b²=40 ②
①代入②消去a得b²-4b-12=0，
解得b=6或b=-2
當b=6時a=-3，當b=-2時a=5
∴圓心P（-3，6）或P（5，-2）
∴圓P的方程為：（x+3）²+（y-6）²=40
或（x-5）²+（y+2）²=40；
（3）∵|AB|=

42+42

=4

2

，
∴當△QAB面積為8時，點Q到直線AB的距離為2

2

，
又圓心到直線AB的距離為4

2

，圓P的半徑r=2

10

，
且4

2

+2

2

＞2

10

，
∴圓上共有兩個點Q，使△QAB的面積為8．

點評：本題主要考查線段的垂直平分線，圓的標準方程的求法以及圓上的點與直線間的距離的探究．