Question

已知以點P為圓心的圓過點A（-1，0）和B（3，4），AB的垂直平分線交圓P于點C、D，且|CD|=4

10

．
（1）求圓P的方程；
（2）設點Q在圓P上，試探究使△QAB的面積為8的點Q共有幾個？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為k_AB=1，AB的中點坐標為（1，2），所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），設圓心P（a，b），則由P在CD上得a+b-3=0，由此能求出圓P的方程．
（2）因為|AB|=

42+42

=4

2

，所以當△QAB面積為8時，點Q到直線AB的距離為2

2

．又圓心到直線AB的距離為4

2

，圓P的半徑r=2

10

，且2

10

-4

2

＜2

2

，由此知圓上共有兩個點Q，使△QAB的面積為8．

解答：解：（1）因為k_AB=1，AB的中點坐標為（1，2），所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），
即x+y-3=0．（3分）
設圓心P（a，b），則由P在CD上得a+b-3=0．①
又直徑|CD|=4

10

，所以|PA|=2

10

，所以（a+1）²+b²=40．②
①代入②消去a得-4b-12=0，解得b=6或b=-2．
當b=6時，a=-3；當b=-2時，a=5，所以圓心P（-3，6）或P（5，-2），所以圓P的方程為（x+3）²+（y-6）²=40或(x-5)2；+(y+2)2=40．（8分）
（2）因為|AB|=

42+42

=4

2

，所以當△QAB面積為8時，點Q到直線AB的距離為2

2

．（10分）
又圓心到直線AB的距離為4

2

，圓P的半徑r=2

10

，且2

10

-4

2

＜2

2

，
所以圓上共有兩個點Q，使△QAB的面積為8．（15分）

點評：本題考查直線和圓的性質和應用，解題時要注意直線和圓的位置關系的合理運用．