Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足(2a+c)cosB+bcosC=0.

(1)求角B的大小；

(2)設(shè)m=(sinA,cos2A),n=(2,1),當(dāng)m·n取到最大值時(shí)，求角A和角C的值.

Answer 1

解:(1)∵(2a+c)cosB+bcosC=0,∴(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin(C+B)=0.

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB+sinA=0.∵0＜A＜π,∴sinA≠0.

∴cosB=.∵0＜B＜π，∴B=.

(2)m·n=2sinA+cos2A=-2sin²A+2sinA+1,

由(1)得0＜A＜，設(shè)sinA=t，則t∈(0,).

則m·n=-2t²+2t+1=-2(t)²+.

∵t∈(0,)，∴t=時(shí)，m·n取到最大值，最大值為,

即sinA=且A∈(0,).∴A=.又B=,∴C=.

∴當(dāng)m·n取到最大值時(shí)，A=，C=.