Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點橫坐標為x_n，則log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃的值為（ ）
A．-log₂₀₁₄2013
B．-1
C．-1+log₂₀₁₄2013
D．1

Answer 1

【答案】分析：由題意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根據導數的幾何意義可求切線的斜率k，進而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₃=••…，代入可求出答案．
解答：解：由題意可得P（1，1）
對函數f（x）=xⁿ⁺¹求導可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=
∴x₁x₂…x₂₀₁₃=••…，
∴log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃=log₂₀₁₄（x₁x₂…x₂₀₁₃）
=log₂₀₁₄  =-1
故選B．
點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用，累乘及對數的運算性質的綜合應用，還考查了基本運算的能力．