Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則x₁•x₂•…•x₂₀₁₁的值為（　　）

• A、

  1

  2010

• B、

  2009

  2010

• C、

  1

  2012

• D、

  2010

  2011

Answer 1

分析：先求出其導函數，把x=1代入，求出切線的斜率，進而得到切線方程，找到切線與x軸的交點的橫坐標的表達式，即可求出結論．

解答：解：因為y=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1時，y′=n+1，
則直線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，則x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故切線與x軸的交點為（

n

n+1

，0）
則x₁•x₂•…•x₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

× 

3

4

×…×

2011

2012

=

1

2012

．
故選C．

點評：本題主要考查導函數在求切線方程中的應用以及函數與數列的綜合問題．在利用導函數求切線方程時，應知道切線的斜率為導函數在切點處的函數值．