Question

已知向量

a

=(2，2)，

b

=(x，y)．
（Ⅰ）若x，y∈{-1，0，1，2}，求向量

a

∥

b

的概率；
（Ⅱ）若x，y∈[-1，2]且均勻分布，求向量

a

，

b

的夾角是鈍角的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出基本事件的個數，利用向量平行確定滿足

a

∥

b

的事件個數，然后求概率；
（Ⅱ）求出向量

a

，

b

的夾角是鈍角是等價條件，利用幾何概型的概率公式求概率．

解答：解：
（Ⅰ）若x，y∈{-1，0，1，2}，則基本事件包括（-1，-1）、（-1，0）、（-1，1）、（-1，2）、
（0，-1）、（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、（2，-1）、（2，0）、（2，1）、（2，2），共計16個基本事件．
因為設向量

a

∥

b

的事件為A，若

a

∥

b

，則有2x-2y=0，即x=y，
則符合

a

∥

b

的

b

坐標為（-1，-1）、（0，0）、（1，1）、（2，2）共4個基本事件．
所以P(A)=

4

16

=

1

4

．
則向量

a

∥

b

的概率為

1

4

．
（Ⅱ）x，y∈[-1，2]且均勻分布，則基本事件表示為{（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤2，x，y∈R}，
若設向量

a

，

b

的夾角是鈍角的事件為B，
則應坐標

a

，

b

應滿足

a

•

b

＜0且

a

，

b

不能共線反向，即

2x+2y＜0 x≠y

．
如圖所示P（B）=

陰影部分面積

正方形面積

=

2×2× 1 2

3×3

=

2

9

．
所以向量

a

，

b

的夾角是鈍角的概率為

2

9

…（12分）

點評：本題主要考查古典概型和幾何概型概率的求法，利用列舉法是解決古典概型的基本方法，利用數形結合是解決幾何概型的基本方法．