Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1]時，f（x）=cosx，設a=f（0.5），b=f（

2

），c=f（

3

），則a，b，c大小關系是（　　）

A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．b＞c＞a

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：利用函數的周期性與當x∈（0，1]時f（x）=cosx，結合f（x+1）=-f（x）可求得b=-cos（

2

-1），c=-cos（

3

-1）利用余弦函數的單調性即可得到答案．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函數f（x）是以2為周期的函數．
又x∈（0，1]時，f（x）=cosx，f（x+1）=-f（x），
∴b=f（

2

）
=-f（

2

+1）
=-f（

2

+1-2）
=-f（

2

-1）
=-cos（

2

-1），
同理，c=f（

3

）=-cos（

3

-1），
∵0＜

2

-1＜

3

-1＜1，f（x）=cosx在[0，1]上是減函數，
∴cos（

2

-1）＞cos（

3

-1），
-cos（

2

-1）＜-cos（

3

-1）＜0，
即b＜c＜0，
而a=f（0.5）=cos0.5＞0，
∴a＞c＞b
故選B．

點評：本題考查關系式的比較大小，得到b=-cos（

2

-1），c=-cos（

3

-1）是關鍵，也是難點，突出函數單調性的應用，屬于中檔題．