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若兩個非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=2|
a
|，則向量
b
與
a
+
b
的夾角為（　　）
分析：根據向量模的性質，建立關于
a
、
b
的方程組，解出
a
•
b
=0且
b
2=3
a
2．由此作出矩形OABC，可得
OC
=
OA
+
OB
=
a
+
b
，且|
OB
|=
3
|
OA
|．由此利用解三角形的知識，即可得到向量
b
與
a
+
b
的夾角大小．
解答：解：由已知得
(
a
+
b
)2=(
a
-
b
)2
(
a
-
b
)2=4
a
2
，化簡①得
a
•
b
=0且
b
2=3
a
2．
令
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
OA
+
OB
=
a
+
b
，則
由
a
•
b
=0且
b
2=3
a
2，可得四邊形OACB為矩形，且|
OB
|=
3
|
OA
|
∠BOC即為向量
b
與
a
+
b
的夾角．
令|
OA
|=1，則|
OB
|=
3

Rt△OBC中，tan∠BOC=
|BC|
|OB|
=
3
3
，
∴∠BOC=
π
6
，即向量
b
與
a
+
b
的夾角為
π
6

故選：A
點評：本題考查向量的數量積、模、夾角的運算．本題的關鍵是將已知轉化，得出
a
、
b
的關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在下列命題中：①若兩個非零向量
a
和
b
共線，則
a
，
b
所在的直線平行；②若
a
，
b
所在的直線是異面直線，則
a
，
b
一定不共面；③若
a
，
b
，
c
三向量兩兩共面，則
a
，
b
，
c
c三直線一定也共面；其中正確命題的個數為（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

在下列命題中：
①若兩個非零向量
a
和
b
共線則
a
，
b
所在的直線平行；
②若
a
，
b
所在的直線是異面直線，則
a
，
b
一定不共面；
③若
a
，
b
，
c
三向量兩兩共面，則
a
，
b
，
c
三向量一定也共面；
④若
a
，
b
，
c
是三個非零向量，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為
p
=x
a
+y
b
+z
c
（x，y，z∈R）．
其中正確命題的個數為（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•青島一模）若兩個非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|+|
a
-
b
|=2|
a
|，則向量
a
+
b
與
b
-
a
的夾角為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•麗水一模）若兩個非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=2|
a
|，則向量
a
與
a
+
b
的夾角是
π
3
π
3
．

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