Question

（2013•麗水一模）若兩個非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=2|

a

|，則向量

a

與

a

+

b

的夾角是

π

3

．

Answer 1

分析：將|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=2|

a

|平方，轉化可得

a

•

b

=0，

b

2=3

a

2，令

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

OA

+

OB

=

a

+

b

，數形結合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即為所求．

解答：解：由已知得

( a + b )2=( a - b )2   ① ( a + b )2=4 a 2  ②

．化簡①得

a

•

b

=0，再化簡②可得

b

2=3

a

2．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

OA

+

OB

=

a

+

b

，則由

a

•

b

=0以及

b

2=3

a

2，可得四邊形OACB為矩形，∠AOC即為向量

a

與

a

+

b

的夾角．
令OA=1，則OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC=

OA

OC

=

1

2

，
∴∠AOC=

π

3

，
故答案為  

π

3

．

點評：本題考查向量的數量積、模、夾角的運算．本題的關鍵是將已知轉化，得出

a

、

b

的關系，屬于中檔題．