Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且（a+c）2=b2+3ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵（a+c）2=b2+3ac，

∴可得：a2+c2﹣b2=ac，

∴由余弦定理可得：cosB= = = ，

∵B∈（0，π），

∴B= ．

（Ⅱ）∵sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，

∴sin（C+A）+sin（C﹣A）=2sin2A，

∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，

∴cosA=0，或sinC=2sinA，

∴當cosA=0時，A= ，可得c= = ，可得S△ABC= bc= = ；

當sinC=2sinA時，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2，

解得：a= ，c= ，S△ABC= acsinB= × × =

【解析】（Ⅰ）整理已知等式可得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得cosB= ，結合范圍B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由三角函數恒等變換的應用化簡已知可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，可得cosA=0，或sinC=2sinA，

分類討論，利用三角形面積公式即可計算得解．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余弦定理的定義的相關知識，掌握余弦定理:;;．