Question

方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩解α，β，則α+β=

 

．

Answer 1

分析：利用輔助角公式將sinx+

3

cosx+a=0轉(zhuǎn)化為-a=2sin（x+

π

3

），構(gòu)造函數(shù)f（x）=2sin（x+

π

3

）與y=-a，并在同一坐標(biāo)系中作出其圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得α+β的值．

解答：解：∵sinx+

3

cosx+a=0，
∴-a=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
令f（x）=2sin（x+

π

3

），y=-a，
∵0＜x＜2π，
∴

π

3

＜x+

π

3

＜2π+

π

3

=

7π

3

，
在同一坐標(biāo)系中作出f（x）=2sin（x+

π

3

）與y=-a的圖象，

由圖知，當(dāng)x=

π

6

，即x+

π

3

=

π

2

時(shí)，f（x）取到最大值2，當(dāng)x=

7π

6

時(shí)，x+

π

3

=

7π

6

+

π

3

=

3π

2

，f（x）取到最小值-2；
方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩解α，β?直線y=-a與曲線f（x）=2sin（x+

π

3

）在（0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α₁與β₁時(shí)，α₁+β₁=

π

3

；
當(dāng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α₂與β₂時(shí)，α₂+β₂=

7π

3

；
∴α+β=

π

3

或

7π

3

．
故答案為：

π

3

或

7π

3

．

點(diǎn)評(píng)：不同考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，作圖是難點(diǎn)，考查作圖與分析的能力，屬于中檔題．