Question

已知方程sinx+

3

cosx+a=0在區間[0，2π]上有且只有兩個不同的解，則實數a的取值范圍是

a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）

．

Answer 1

分析：由已知中方程sinx+

3

cosx+a=0，我們根據正弦型函數的圖象和性質，易分析出a=-（sinx+

3

cosx）在區間[0，2π]上的圖象和性質，進而分析出a取不同值時，方程sinx+

3

cosx+a=0解的個數，進而得到答案．

解答：解：∵sinx+

3

cosx+a=0
∴a=-（sinx+

3

cosx）=-2sin（x+

π

3

）∈[-2，2]
當a=±2時，方程sinx+

3

cosx+a=0有唯一的解；
當a=

3

時，方程sinx+

3

cosx+a=0有三個不同的解；
當a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）時，方程sinx+

3

cosx+a=0有兩個不同的解；
故滿足條件的實數a的取值范圍是a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）
故答案為：a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）

點評：本題考查的知識點是正弦函數的值域，方程根與函數零點的個數的關系，其中熟練掌握正弦型函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．