Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=-n²+9n+2（n∈N）．
（Ⅰ）判斷數列{a_n}是否為等差數列；
（Ⅱ）設R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求R_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=-n²+9n+2（n∈N），可求得a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

，從而可判斷數列{a_n}是否為等差數列；
（Ⅱ）由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：當n≤5時，|a_n|=a_n，當n＞5時，|a_n|=-a_n，從而可通過對n分類討論，來求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=-n²+9n+2（n∈N），
∴當n=1時，a₁=S₁=10，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+9n+2）-[-（n-1）²+9（n-1）+2]=10-2n，
∴a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

．
∴數列{a_n}不是等差數列．
（Ⅱ） 由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：當n≤5時，|a_n|=a_n，當n＞5時，|a_n|=-a_n．
∴當n≤5時，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=-n²+9n+2，
當n＞5時，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）
=-S_n+2S₅
=n²-9n-2+2（-25+45+2）
=n²-9n+42．
即：R_n=

-n2+9n+2，n≤5 n2-9n+42，n＞5

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系的確定與等差數列的求和，考查分類討論思想，屬于中檔題．