Question

已知為函數圖象上一點，為坐標原點，記直線的斜率．

（1）若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；

（2）當 時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式、數列等基礎知識，考查思維能力、運算能力和思維的嚴謹性.第一問，考查求導求極值問題；第二問，是恒成立問題，將第一問的代入，整理表達式，得出，構造函數，下面的主要任務是求出函數的最小值，所以；第三問，是不等式的證明，先利用放縮法構造出所證不等式的形式，構造數列，利用累加法得到所證不等式的左邊，右邊利用裂項相消法求和，再次利用放縮法得到結論.

試題解析：（1）由題意，,所以        2分

當時，；當時，．

所以在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值．

因為函數在區間（其中）上存在極值，

所以，得．即實數的取值范圍是．         4分

（2）由得，令，

則．                            6分

令，則，

因為所以,故在上單調遞增．        8分

所以,從而

在上單調遞增,

所以實數的取值范圍是．                     10分

（3）由(2) 知恒成立,

即          12分

令則，        14分

所以， ，  ,．

將以上個式子相加得：，

故．                16分

考點：1.函數極值的求法；2.恒成立問題；3.求函數的最值；4.放縮法；5.裂項相消法.