Question

已知命題p：

x2

k

+

y2

4-k

=1表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：（k-1）x²+（k-3）y²=1表示雙曲線．若p和q有且僅有一個正確，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：若 p正確q不正確，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，若 q正確p不正確∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，分別求出k的取值范圍，再取
并集，即為所求．

解答：解：當p正確時，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．
當q正確時，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．
由題設，若p和q有且只有一個正確，則
（1）若 p正確q不正確，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，∴3＜k≤4．
（2）若 q正確p不正確∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，∴1＜k≤2．
∴綜上所述，若p和q有且僅有一個正確，k的取值范圍是k∈（1，2]∪（3，4]．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的標準方程，以及它們的簡單性質的應用，體現了分類討論的數學思想，得到
p正確q不正確時有

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，q正確p不正確時有

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，是解題的關鍵．