Question

已知函數(shù)，且f(1)＝3，

(1)試求a的值；

(2)用定義證明函數(shù)f(x)在[，＋∞)上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝x＋b的兩根為x₁，x₂，試問是否存在實數(shù)t，使得不等式對任意的b∈[2，]及恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(1)＝3，∴a＝1，∴　3分 　　(2)∵a＝1，∴，設(shè)≤x1＜x2， 　　∴f(x2)－f(x1)＝2x2＋－(2x1＋)＝2(x2－x1)＋＝(x2－x1)(2－)， 　　∵x2＞x1≥，∴x1x2≥x≥，∴0＜＜2，∴2－＞0又x2－x1＞0， 　　∴f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在，＋∞)上單調(diào)遞增．　8分 　　(3)∵f(x)＝x＋b，∴x2－bx＋1＝0，∴|x1－x2|＝ 　　又2≤b≤，∴0≤|x1－x2|≤3，故只須當(dāng)，使得恒成立即在恒成立，也即在恒成立， 　　∴令，由第(2)問可知在上單調(diào)遞增，同理可得在上單調(diào)遞減． 　　∴∴ 　　故的取值集合是　14分