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已知函數數學公式,且f(2)<f(3)
(1)求k的值;
(2)試判斷是否存在正數p,使函數g(x)=1-p•f(x)+(2p-1)x在區間[-1,2]上的值域為數學公式.若存在,求出這個p的值;若不存在,說明理由.

解:(1)已知函數,
∵f(2)<f(3),∴-k2+k+2>0,即k2-k-2<0,
∵k∈Z,∴k=0或1
(2)存在p=2,使得結論成立,證明如下:
由(1)知函數解析式為f(x)=x2

①當,即時,

②當時,解得-<p<0,
∵p>0,∴這樣的p不存在.
③當,即時,
,解之得,這樣的p不存在.
綜①②③得,p=2.
即當p=2時,結論成立.
分析:(1)由函數形式知,此為一冪函數,又f(2)<f(3),可知函數在[2,3]是增函數,由分析知,函數是一增函數,故指數為正,即-k2+k+2>0,再結合k為整數求解即可
(2)由(1)知函數解析式為f(x)=x2,將其代入函數g(x)知其也為一二次函數,下研究g(x)在區間[-1,2]上的最值,結合值域為建立關于參數p的方程求參數即可.若能求出,則說明存在,否則,不存在.
點評:本題考點是二次函數的性質,考查利用二次函數的性質判斷出函數的最值,利用最值建立方程求參數,本題是一存在性問題,考查思維的嚴密性綜合性較強,分類時要做到不重不漏,嚴謹做題.
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