Question

橢圓的右焦點為，右準線為，離心率為，點在橢圓上，以為圓心，為半徑的圓與的兩個公共點是．

（1）若是邊長為的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若三點在同一條直線上，且原點到直線的距離為，求橢圓方程．

Answer 1

（1）。（2）． 

試題分析：設橢圓的半長軸是，半短軸是，半焦距離是，
由橢圓的離心率為，可得橢圓方程是，        2分
（只要是一個字母，其它形式同樣得分，）
焦點，準線，設點，
（1）是邊長為的等邊三角形，
則圓半徑為，且到直線的距離是，
又到直線的距離是，
所以，，，所以
所以，圓的方程是。              6分
（2）因為三點共線，且是圓心，所以是線段中點，
由點橫坐標是得，，           8分
再由得：，，
所以直線斜率             10分
直線：，            12分
原點到直線的距離，
依題意，，所以，
所以橢圓的方程是．            15分
點評：解答此類綜合題時，應根據其幾何特征熟練的轉化為數量關系（如方程、函數），再結合代數方法解答，這就要學生在解決問題時要充分利用數形結合、設而不求、弦長公式及韋達定理綜合思考，重視對稱思想、函數與方程思想、等價轉化思想的應用