Question

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分別為CE、AB的中點．
（I）求證：OD∥平面ABC；
（II）能否在EM上找一點N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC的中點F，連接OF，BF，根據三角形中位定理及平行四邊形的判定及性質，可得OD∥BF，進而由線面平行的判定定理得到OD∥平面ABC；
（II）當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE．先證明CM⊥面ABDE，再由ON∥CM，可得ON⊥平面ABDE．
解答：證明：（I）取AC中點F，連接OF、FB．
∵F是AC的中點，O為CE的中點，
∴OF∥EA，且OF=EA，
又BD∥AE，且BD=AE，
∴OF∥DB，OF=DB，
∴四邊形BDOF是平行四邊形．
∴OD∥FB．
又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，
∴OD∥面ABC．
（II）當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE．
證明：取EM中點N，連接ON、CM，
∵AC=BC，M為AB中點，
∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥面ABDE，
∵N是EM中點，O為CE中點，
∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．
點評：題考查證明線面平行、線面垂直的方法，取AC中點F，EM中點 N，是解題的關鍵．