Question

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O為AB的中點．
（1）證明：CO⊥DE；
（2）求二面角C-DE-A的正切值大小．
（3）求B到平面CDE的距離．

Answer 1

分析：（1）由已知中因為BC=AC，O為AB中點，我們易得CO⊥AB，又由等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CO⊥平面ABDE，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明CO⊥DE；
（2）過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角，在△CDE中，可得CE=

5

，CD=2

2

，DE=

5

，取CD的中點G，則EG⊥CD，利用等面積可得CF，從而可求二面角C-DE-A的正切值．
（3）連接BG，BE，導(dǎo)出BG⊥CD，BG⊥EG，故BG⊥平面CDE，由此能求出B到平面CDE的距離．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形
∴BC=AC，
∵O為AB中點．所以CO⊥AB，
又因為平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO?平面ABC，
所以CO⊥平面ABDE，
∵DE?平面ABDE，
∴CO⊥DE；
（2）解：過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角
在△CDE中，CE=

5

，CD=2

2

，DE=

5

，
取CD的中點G，則EG⊥CD，∴EG=

3

，
利用等面積可得：

5

×CF=2

2

×

3

，
∴CF=

2 6

5

，
∵CO=

3

，∴OF=

3

5

，
∴tan∠CFO=

CO

OF

=

3

3 5

=

15

3

．
（3）連接BG，BE，
∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，
∴BG=

2

，EG=

3

，BE=

5

，BG⊥CD，
∴BG⊥EG，∴BG⊥平面CDE，
∴B到平面CDE的距離為

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)與判定，線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．解答面面角的關(guān)鍵是正確作出面面角．