Question

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O為AB的中點．
（1）證明：CO⊥DE；
（2）求二面角C-DE-A的正切值大小．
（3）求B到平面CDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中因為BC=AC，O為AB中點，我們易得CO⊥AB，又由等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CO⊥平面ABDE，進而根據線面垂直的性質，即可證明CO⊥DE；
（2）過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角，在△CDE中，可得CE=，CD=2，DE=，取CD的中點G，則EG⊥CD，利用等面積可得CF，從而可求二面角C-DE-A的正切值．
（3）連接BG，BE，導出BG⊥CD，BG⊥EG，故BG⊥平面CDE，由此能求出B到平面CDE的距離．
解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形
∴BC=AC，
∵O為AB中點．所以CO⊥AB，
又因為平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO?平面ABC，
所以CO⊥平面ABDE，
∵DE?平面ABDE，
∴CO⊥DE；
（2）解：過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角
在△CDE中，CE=，CD=2，DE=，
取CD的中點G，則EG⊥CD，∴EG=，
利用等面積可得：×CF=2×，
∴CF=，
∵CO=，∴OF=，
∴tan∠CFO===．
（3）連接BG，BE，
∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，
∴BG=，EG=，BE=，BG⊥CD，
∴BG⊥EG，∴BG⊥平面CDE，
∴B到平面CDE的距離為．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質與判定，線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．解答面面角的關鍵是正確作出面面角．