Question

15．設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求f（x）的極大值和極小值；
（3）若關于x的方程f（x）=a有三個不同的實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間；
（2）根據函數的單調性求出函數的極值即可；
（3）由（1）（2）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數圖象的變化情況，可知方程f（x）=a有3個不同實根，求得實數a的值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6=3（x²-2），
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴函數f（x）的遞減區間是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），遞增區間是（-∞，-$\sqrt{2}$）與（$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）由（1）得當x=-$\sqrt{2}$時，有極大值5+4$\sqrt{2}$，當x=$\sqrt{2}$時，有極小值5-4$\sqrt{2}$；
（3）由（1）（2）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，
∴當5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$時，
直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，
即方程f（x）=a有三解，
∴5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$．

點評 考查利用導數研究函數的單調性和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．