Question

5．已知z是復數，z+2i與$\frac{z}{2-i}$均為實數．
（1）求復數z；
（2）復數（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設z=x+yi（x，y∈R），然后代入z+2i結合已知求出y的值，再代入$\frac{z}{2-i}$，利用復數代數形式的乘除運算化簡結合已知可求出x的值，則復數z可求；
（2）把z=4-2y代入（z+ai）²化簡結合已知條件列出不等式組，求解即可得答案．

解答 解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），
則z+2i=x+（y+2）i為實數，
∴y=-2．
∵$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x-2i}{2-i}=\frac{（x-2i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x+2+（x-4）i}{5}$=$\frac{2x+2}{5}+\frac{x-4}{5}i$為實數，
∴$\frac{x-4}{5}=0$，解得x=4．
則z=4-2y；
（2）∵（z+ai）²=（4-2y+ai）²=（12+4a-a²）+8（a-2）i在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12+4a-{a}^{2}＞0}\\{8（a-2）＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜6．

點評 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是中檔題．