Question

有時可用函數f（x）=，描述學習某學科知識的掌握程度．其中x表示某學科知識的學習次數（x∈N^*），f（x）表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關．
（1）證明：當x≥7時，掌握程度的增長量f（x+1）-f（x）總是下降；
（2）根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為（115，121]，（121，127]，（127，133]．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科．

Answer 1

【答案】分析：（1）x≥7時，作差求出增長量f（x+1）-f（x），研究其單調性知，差是一個減函數，故掌握程度的增長量總是下降、
（2）學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可確定相應的學科．
解答：證明：（1）當x≥7時，
而當x≥7時，函數y=（x-3）（x-4）單調遞增，且（x-3）（x-4）＞0
故函數f（x+1）-f（x）單調遞減
當x≥7時，掌握程度的增長量f（x+1）-f（x）總是下降
（2）由題意可知
整理得
解得（13分）
由此可知，該學科是乙學科..（14分）
點評：本題是分段函數在實際問題中的應用，在實際問題中，分段函數是一個很重要的函數模型．