Question

已知正八面體的棱長為a.

（1）求相鄰兩面所成二面角的大小；

（2）求相鄰兩面中心的距離.

Answer 1

解析：（1）如圖，分別取BE、CD的中點M、N，連結AM、AN、FM、FN、MN.

∵△ACD、△FCD均為全等的正三角形，

∴AN=NF=FM=MA.

故四邊形AMFN為菱形，且CD⊥AN，CD⊥FN，故∠ANF是正八面體相鄰兩面所成二面角的平面角.

在菱形AMFN中，邊長為a.

在正方形BCDE中，邊長為a，連CE并設CE∩MN=O，則

AO=a，

∴AF=2AO=a，

cosANF=.

∴∠ANF=π-arccos.

（2）分別在AN、FN上取一點G₁、G₂，使NG₁=AN，NG₂=FN，則G₁、G₂分別是正三角形ACD和FCD的中心，連結G₁G₂.

則G₁G₂∥AF，故=,

得G₁G₂=a.