Question

在△ABC中，P是邊BC的中點，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若sinC•

AC

+sinA•

PA

+sinB•

PB

=

0

，則△ABC中角A的大小為

 

．

Answer 1

分析：利用向量間的關系，將已知的向量關系式轉化成以

AB

，

AC

為基底的向量關系式，利用向量相等的條件即可求得△ABC中角A的大小．

解答：解：∵△ABC中，P是邊BC的中點，
∴-

PA

=

AP

=

1

2

（

AB

+

AC

），
又

PB

=

1

2

CB

=

1

2

（

AB

-

AC

），
∴sinC

AC

+sinA

PA

+sinB

PB

=

0

?sinC

AC

+sinB•

1

2

（

AB

-

AC

）=-sinA

PA

=sinA•

1

2

（

AB

+

AC

），
∴（sinC-

1

2

sinB-

1

2

sinA）

AC

+

1

2

（sinB-sinA）

AB

=

0

，
∵

AB

與

AC

不共線，
∴sinB-sinA=0且sinC-

1

2

sinB-

1

2

sinA=0，
∴sinA=sinB=sinC．
∴A=B=C=60°
故答案為：60°．

點評：本題考查向量間的關系，考查平面向量基本定理與三角的綜合應用，屬于難題．