Question

已知圓O的半徑是2，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩個切點，那么

PA

•

PB

的最小值是（　　）

• A．-24+8

  2

• B．24-8

  2

• C．-12+8

  2

• D．-12-8

  2

Answer 1

分析：設PA與PO的夾角為a，則|PA|=|PB|=

2

tanα

，可得y=4

1+cos2α

1-cos2α

cos2α，記cos2a=t，則1-t＞0，可變形為4（1-t）+

8

1-t

-12，由基本不等式可得答案．

解答：解：設PA與PO的夾角為a，則|PA|=|PB|=

2

tanα

，
y=

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos2α=

4

tan2α

cos2α
=4

cos2α

sin2α

cos2α=4

1+cos2α

1-cos2α

cos2α，
記cos2a=t，則1-t＞0，
故y=

4t(1+t)

1-t

=

4(1-t)2-12(1-t)+8

1-t

=4（1-t）+

8

1-t

-12≥2

4(1-t) 8 1-t

-12
=8

2

-12
故選C

點評：本題考查向量的數量積的最值，利用三角換元然后構造基本不等式是解決問題的關鍵，屬中檔題．