Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

（I）求tanC的值；
（Ⅱ）若△ABC最長的邊為1，求最短邊的長．

Answer 1

分析：（I）由同角三角函數的關系，算出sinB的值，得到tanB=

sinB

cosB

=

1

3

，再利用誘導公式和兩角和的正切公式即可算出tanC的值；
（II）根據題意tanA＞tanB＞0，得邊b最短，再利用正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

的式子，代入數據即可算出邊b的長，從而得到所求最短邊的長．

解答：解：（I）∵cosB=

3 10

10

＞0，
∴B為銳角，可得sinB=

1-cos2B

=

1-( 3 10 10

)2=

10

10

…（2分）
∴tanB=

sinB

cosB

=

1

3

…．…（4分）
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1…（6分）
（Ⅱ）由（I）tanC=-1，0＜C＜π，得C=

3π

4

∴邊c最長，即c=1…（7分）
又tanA＞tanB＞0，
∴B為最小角，可得邊b最短…（8分）
由正弦定理知

b

sinB

=

c

sinC

∴b=

c

sinC

•sinB=

1

2 2

×

10

10

=

5

5

，即所求最短邊的長為

5

5

…（12分）

點評：本題給出三角形兩個角的三角函數，求第三個角并依此解三角形．著重考查了同角三角函數的關系、誘導公式與兩角和的正切公式，考查了正弦定理的知識，屬于中檔題．