Question

【題目】設函數F（x）= ，其中f（x）=log2（x2+1），g（x）=log2（|x|+7）．
（1）在實數集R上用分段函數形式寫出函數F（x）的解析式；
（2）求函數F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：F（x）= ，

令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），得x2﹣|x|﹣6≥0，

解得：x≤﹣3或x≥3，（5分）∴F（x）=

（2）

解：當x≥3或x≤﹣3時，F（x）=log2（x2+1），設u=x2+1≥10，y=log2u在[10，+∞）上遞增，所以F（x）min=log210；（說明：設元及單調性省略不扣分）

同理，當﹣3＜x＜3，F（x）min=log27；

又log27＜log210∴x∈R時，F（x）min=log27．

或解：因為F（x）是偶函數，所以只需要考慮x≥0的情形，

當0≤x＜3，F（x）=log2（x2+7），當x=0時，F（x）min=log27；

當x≥3時，F（x）=log2（x2+1），當x=3時，F（x）min=log210；

∴x∈R時，F（x）min=log27

【解析】（1）令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），解得：x的取值范圍，再結合F（x）的意義用分段函數形式寫出函數F（x）的解析式即可；（2）先分情況討論函數的單調性：當x≥3或x≤﹣3時；當﹣3＜x＜3，分別求出F（x）的最小值，最后綜合得出x∈R時，F（x）min=log27．或利用F（x）的奇偶性，只需要考慮x≥0的情形，只須分兩種情形討論：當0≤x＜3，當x≥3時，分別求得F（x）的最小值即得．
【考點精析】關于本題考查的函數的值域，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能得出正確答案．