Question

【題目】設函數（是自然對數的底數）.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若在 內無極值，求的取值范圍；

（3）設，求證： 。

Answer 1

【答案】（1）在， 單調遞增，在單調遞減（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先對函數求導，再運用導數與函數的單調性之間的關系分析求解；（2）先將在問題進行轉化，再分離參數，構造函數運用分類整合思想及導數知識分析求解；（3）依據題設條件運用數學歸納法進行推證：

解：（1）當時，

所以

當時， 當時， ；

當時，

故在， 單調遞增，在單調遞減

（2）若在內無極值，則在上單調，

又

①若在上遞減，則，對恒成立，于是有

，令，

下面證明在上單調遞增：

令，則

當時， 單調遞減，

在單調遞增。

當時，由是增函數，得。

由，得；

②若在上單調遞增，則，對恒成立，于是

，當時，由得，從而增函數

，這樣。綜上得

（3）用數學歸納法證明 ①當時， ，不等式成立；

②假設時不等式成立，即，

當時，令

顯然，由歸納假設， 對成立，

所以 在上單調遞增，當時， ，即當

時，不等式也成立。

綜合①②時，不等式成立。