Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面 平面，且是邊長為的等邊三角形， ，點是的中點.

（1）求證： 平面 ；

（2）點 在 上，且滿足 ，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得 ，然后結合線面平行的判斷定理即可證得平面.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面向量的法向量和直線的方向向量可求得直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

解：(1)連 交 于點， 連 ，因為四邊形 是矩形，所以點是 的中點，又點 是 的中點， ，又 平面 平面 ，所以平面.

(2)取 的中點，則 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，連接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 為原點， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，則，設，則由 得 ，即，設平面的法向量 ，則 ，得 ，令 ，則 ，故 ，又 ，設直線與平面所成角為 ，則

，故直線與平面所成角的正弦值為 .