Question

【題目】數列的各項均為正數，且的前項和是.

(1)若是遞增數列，求的取值范圍；

(2)若，且對任意，都有，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析： 由題意先證明，然后利用數學歸納法結合條件證明結果由已知先證明數列是遞減數列，由，求出范圍，分別證明、時的情況是否成立

解析：(1)　由a2>a1a1＋－1>a1，

得0<a1<2；①

又由a3>a2a2＋－1>a20<a2<20<a1＋－1<2，

得1<a1<2，②

由①②，得1<a1<2.

下面用數學歸納法證明：

當1<a1<2時，1<an<2對任意n∈N*恒成立.

(ⅰ)當n＝1時，1<a1<2成立；

(ⅱ)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，1<ak<2成立，

則當n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋－1∈[2－1，2)(1，2).

綜上，可知1<an<2對任意n∈N*恒成立.

于是an＋1－an＝－1>0，即{an}是遞增數列.

所以a1的取值范圍是1<a1<2.

(2)證明　因為a1>2，可用數學歸納法證明：an>2對任意n∈N*恒成立.

于是an＋1－an＝－1<0，即{an}是遞減數列.

在Sn≥na1－ (n－1)中，令n＝2，

得2a1＋－1＝S2≥2a1－，解得a1≤3，

故2<a1≤3.

下證：①當時，

Sn≥na1－ (n－1)恒成立.

事實上，當時，

由于于是

再證：②當時不合題意.

事實上，當時，設an＝bn＋2，

則由可得

得得，

于是數列{bn}的前n項和，

故Sn＝2n＋Tn<2n＋3＝na1＋(2－a1)n＋3.(*)

令則由(*)式得，

只要n充分大，就有Sn<na1－ (n－1)，這與Sn≥na1－ (n－1)矛盾.

所以<a1≤3不合題意.

綜上，有2<a1≤.

于是 ，因為 故

故數列{bn}的前n項和，

所以Sn＝2n＋Tn<2n＋1.