Question

【題目】已知函數f(x)=ln(x+1)-mx(mR)。(1)若m>0,討論f(x)的單調性；（2）令g(x)=f(x-1)+(2m+1)x+n,若g(x)有兩個零點,,求證： <

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調遞減區間為；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，根據導函數的符號判斷出函數的單調性即可．（2）由兩式相減后整理可得．故要證不等式成立，只需證．不妨設， ，則只需證，然后再構造函數，證明即可．

試題解析：

（1）∵，

∴，

∵，

∴．

當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減．

∴函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

（2）由題意得，

∵函數g(x)有兩個零點，

∴

兩式相減得

∴，

要證，即證，

不妨設， ，

則只需證．

令，

則

令，

則，所以在上單調遞減，

∴，

∴函數在上單調遞增，

∴，

即在上恒成立，故原不等式成立．