Question

已知動點到點的距離，等于它到直線的距離．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．設線段，的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．

（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），由題意得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出點M的軌跡C的方程．

（Ⅱ）設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點P的坐標由題意可設直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．

（Ⅲ）題題設能求出|EF|=2，所以△FPQ面積S由均值不等式得到。

解：（Ⅰ）設動點的坐標為，由題意得，，化簡得,所以點的軌跡的方程為(或由拋物線定義 解)                                                         ……4分

（Ⅱ）設兩點坐標分別為，，則點的坐標為．由題意可設直線的方程為 ，

由得.

.

因為直線與曲線于兩點，所以，．所以點的坐標為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，

整理得.于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點．

綜上所述，直線恒過定點．          …………10分

（Ⅲ），面積.

當且僅當時，“”成立，所以面積的最小值為．……13分