Question

已知x，y滿足x²+y²-4x+1=0
（1）求

y

x

的最大值和最小值；
（2）求y-x的最小值．

Answer 1

分析：（1）

y

x

相當與（0，0）與圓上的點相連的直線的斜率，利用數形結合可知相切時取最值，解出

y

x

的最大值和最小值．
（2）y-x的值相當于一組斜率為1的平行線與圓有公共點時對應的截距，利用數形結合可知相切時取最值解出相切時對應的值即可．

解答：解：由x，y滿足x²+y²-4x+1=0，整理得即（x，y）是以（2，0）為圓心，

3

為半徑的圓上，
（1）

y

x

相當與（0，0）與圓上的點相連的直線的斜率，由圖形可得，
相切時取最值由圖形知，AC=

3

，OC=2，
∴∠AOC=60°，∴kOA=

3

，kOB=-

3

，
∴

y

x

的最大值

3

，最小值-

3

斜率為1的平行線與圓有公共點時對應的截距，
而y-x的最小值即為截距的最小值，設y-x=t，
由圖形可知，相切時最大或最小，而此時圓心到直線的距離等于半徑，
解

|0-2-t|

2

=

3

得t=

6

-2或t=-

6

-2 
故y-x的最小值為：-

6

-2．

點評：本題考查了數形結合的數學思想，數形結合的應用大致分兩類：一是以形解數，即借助數的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具．