Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1），|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，求實數x的值；
（Ⅱ）當|$\overrightarrow{c}$|取最小值時，求$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據向量的數量積和向量的模，先求出$\overrightarrow$，再根據向量的垂直即可求出x的值，
（Ⅱ）根據二次函數的性質即可求出x的值，再根據向量的夾角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）設$\overrightarrow$=（m，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=5}\\{3m-n=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
當$\overrightarrow$=（-1，2）時，
∴$\overrightarrow{c}$=x（3，-1）+（1-x）（-1，2）=（4x-1，2-3x），
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，
∴3（4x-1）-（2-3x）=0，
解得x=$\frac{1}{3}$，
當$\overrightarrow$=（-2，-1）時，
∴$\overrightarrow{c}$=x（3，-1）+（1-x）（-2，-1）=（5x-2，-1），
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，
∴3（5x-2）+1=0，
解得x=$\frac{1}{3}$，
（Ⅱ）設$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角θ
由（Ⅰ）可知，當$\overrightarrow$=（-1，2）時，$\overrightarrow{c}$=（4x-1，2-3x），
則|$\overrightarrow{c}$|²=（4x-1）²+（2-3x）²=25x²-20x+5=25（x-$\frac{2}{5}$）²+1，
當x=$\frac{2}{5}$時，|$\overrightarrow{c}$|取最小值，則|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{c}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{5}$+$\frac{8}{5}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
當$\overrightarrow$=（-2，-1）時，$\overrightarrow{c}$=（5x-2，-1），
則|$\overrightarrow{c}$|²=（5x-2）²+（-1）²=25（x-$\frac{2}{5}$）²+1，
當x=$\frac{2}{5}$時，|$\overrightarrow{c}$|取最小值，則|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{c}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查了向量的數量積的運算和向量的垂直以及二次函數的性質，屬于中檔題．