Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁₌，AB=1，AD=2，E為BC的中點
（1）求點A到面A₁DE的距離；
（2）設△A₁DE的重心為G，問是否存在實數λ，使 得=且MG⊥平面A₁ED同時成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意求出AE、DE的長度，由勾股定理得到AE和DE垂直，再由幾何體為長方體得到DE⊥AA₁，從而得到平面A₁AE⊥平面A₁ED，取A₁E的中點H后連結AH，得到AH的長度為點A到面A₁DE的距離，然后在直角三角形A₁AE中求解即可；
（2）過G作GM∥AH交AD于M，由AH⊥面A₁DE得到MG⊥面A₁DE，再利用重心的性質及平行線截線段成比例定理得到λ的值．
解答：解：如圖，
（1）由題意求得AE=，DE=，又AD=2，∴AE²+ED²=AD²，
∴AE⊥DE．
又DE⊥AA₁，AA₁∩AE=A，AA₁?面A₁AE，AE?面A₁AE，
∴DE⊥面A₁AE，∴平面A₁AE⊥平面A₁ED，
∵，
取A₁E的中點H，AH⊥A₁E，AH⊥DE，A₁E∩ED=E，A₁E?面A₁DE，
 ED?面A₁DE，
∴AH⊥面A₁DE，
AH為點A到面A₁DE的距離．
∵AH=1，∴點A到面A₁DE的距離為1
（2）在三角形A₁ED中，∵H是A₁E的中點，G為三角形A₁ED的重心，
又∵AH⊥面A₁ED，過點G作GM∥AH交AD于M，
則MG⊥A₁ED，且AM=，
故存在實數，使得，且MG⊥平面A₁ED同時成立．
點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了點線面間距離的計算，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了三角形重心的性質，是中檔題．