Question

如圖，以橢圓＋＝1(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

(1)證明c²＝ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(2)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·＝b²．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)由題設條件，知Rt△OFA∽△Rt△OBF， 　　故，即． 　　因此，c2＝ab． 　　在Rt△OFA中，FA＝＝＝b． 　　于是，直線OA的斜率kOA＝． 　　設直線BF的斜率為k，則k＝． 　　這時，直線BF與y軸的交點為M(0，a)． 　　(2)由(1)，得直線BF的方程為y＝kx＋a，且k2＝．② 　　由已知，設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則它們的坐標滿足方程組③ 　　由方程組③消去y，并整理，得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，④ 　　由式②、③和④，x1x2＝＝＝， 　　由方程組③消去x，并整理，得(b2＋a2k2)y2＋2ab2y＋a2b2－a2b2k2＝0，⑤ 　　由式②和⑤，y1y2＝＝＝． 　　綜上，得到·＝x1x2＋y1y2＝＋＝． 　　注意到a2－ab＋b2＝a2－c2＋b2＝2b2，得 　　·＝ 　　＝＝＝ 　　＝(a2－ab) 　　＝(a2－c2)＝b2． 　　解析：本小題主要考查橢圓的標準方程的幾何性質、直線方程，平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力．