Question

【題目】在直角坐標系xOy中，設動點P到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=﹣1的距離相等，記P的軌跡為Γ．又直線AB的一個方向向量 且過點（1，0），AB與Γ交于A、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

【答案】解：∵動點P到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=﹣1的距離相等，
∴由拋物線的定義，可得動點P的軌跡Γ是拋物線，
設其方程為y2=2px，由 =1得2p=4，
∴拋物線的方程為y2=4x，即為曲線Γ的方程．
∵直線AB的一個方向向量 ，過點（1，0），
∴直線AB的斜率k=2，方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．
設直線l與曲線Γ的交點坐標為A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 ，整理得x2﹣3x+1=0，可得x1+x2=3．
∴根據拋物線的定義，可得|AB|=x1+x2+p=2+x1+x2=5．
【解析】根據拋物線的定義得動點P的軌跡Γ是拋物線，求出其方程為y2=4x．由直線方程的點斜式，算出直線AB的方程為y=2x﹣2，再將直線方程與拋物線方程聯解，并結合拋物線的定義加以計算，可得線段AB的長．