Question

已知函數f（x）=（x-1）²，數列{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q（q∈R，q≠1）的等比數列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{c_n}對任意自然數n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知d²-（d-2）²=2d，解得d=2．所以a_n=2（n-1）．再由，知．由此能夠導出b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由題設知，c₁=2．所以，，由此能夠推導出c₁+c₃+c₅++c_2n-1=．
解答：解：（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵，∴．
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=f（q-1）=1，∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由題設知，∴c₁=a₂b₁=2．
當n≥2時，，，
兩式相減，得．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（c₁=b₁a₂=2適合）．
∴c₁+c₃+c₅++c_2n-1=2（1+3²+3⁴++3^2n-2）==．
即c₁+c₃+c₅++c_2n-1=．
點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要注意公式的靈活運用．