Question

如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．

（1）寫出直線l的方程；

（2）求x₁x₂與y₁y₂的值；

（3）求證：OM⊥ON．

Answer 1

解答：

（Ⅰ）解：直線l過點P（2，0）且斜率為k，故可直接寫出直線l的方程為y=k（x﹣2） （k≠0）①

（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y代入可得k²x²﹣2（k²+1）x+4k²=0．②

則可以分析得：點M，N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，

由韋達定理得

又由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂得到（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，又注意到y₁y₂＜0，

所以y₁y₂=﹣4．

（Ⅲ）證明：設OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，

，

所以證得：OM⊥ON．