Question

（文）如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（1）求x₁x₂與y₁y₂的值；
（2）求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為：y=k（x-2）（k≠0），聯立直線方程與拋物線方程構成方程組，消去y后得關于x的二次方程，由韋達定理即可求得x₁x₂的值，y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，再代入韋達定理即可求得其值；
（2）要證OA⊥OB，可證明

OA

⊥

OB

，進而轉化為證明

OA

•

OB

=0，借助（1）問的結論容易證明；

解答：解：（1）設直線l的方程為：y=k（x-2）（k≠0），
由

y=k(x-2) y2=2x

得k²x²-（4k²+2）x+4k²=0，k≠0，△＞0，
則x1+x2=

4k2+2

k2

，x₁x₂=

4k2

k2

=4，
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²•[4-2×

4k2+2

k2

+4]=k²•（-

4

k2

）=-4．
所以x₁x₂=4，y₁y₂=-4．
（2）由（1）知，x₁x₂=4，y₁y₂=-4，
所以

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=4-4=0，
所以

OA

⊥

OB

，即OA⊥OB．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查方程思想，韋達定理是解決該類題目常用的基礎知識，應準確把握．