Question

如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
（1）寫出直線l的方程；
（2）求x₁x₂與y₁y₂的值；
（3）求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）已知直線過點P（2，0）且斜率為k，可根據直線的點斜式方程代入求解．即可得到答案．
對于（Ⅱ）求x₁x₂與y₁y₂的值．可把拋物線方程和直線方程聯立得到方程k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．又可以分析到點M，N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，有韋達定理可以直接求出，再代入拋物線方程求y₁y₂的值．
對于（Ⅲ）求證：OM⊥ON．可把OM，ON的斜率分別表示出來，相乘，然后根據兩直線的斜率的積為-1，證明兩直線垂直．

解答：（Ⅰ）解：直線l過點P（2，0）且斜率為k，故可直接寫出直線l的方程為y=k（x-2） （k≠0）①
（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②
則可以分析得：點M，N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，
由韋達定理得x1x2=

4k2

k2

=4.
又由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂得到（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，又注意到y₁y₂＜0，
所以y₁y₂=-4．
（Ⅲ）證明：設OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，
則k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

.相乘得k1k2=

y1y2

x1x2

=

-4

4

=-1，
所以證得：OM⊥ON．

點評：此題主要考查直線與拋物線相交后的一系列問題，其中涉及到韋達定理的考查，在交點問題的求法中應用很廣泛，需要理解記憶．