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已知正四面體ABCD的棱長為a，點O是△BCD的中心，點M是CD中點．
（1）求點A到面BCD的距離；
（2）求AB與面BCD所成角的正弦值．
（1）∵棱長為a的正四面體中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等邊三角形BCD中，CD邊的上高BM=
3
2
a
過A作底面BCD上的高，則垂足O為底面BCD的重心
則BO=
2
3
BM=
3
3
a
則AO=
AB2-BO2
=
6
3
a，
∴點A到面BCD的距離OA=
6
3
a
（說明：直接由公式計算得出正確結果不扣分）…6分
（2）由（1）可得∠ABO即為AB與面BCD所成角
在Rt△OAB中，OA=
6
3
a，AB=a
∴sin∠ABO=
OA
AB
=
6
3

即AB與面BCD所成角的正弦值為
6
3
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，平面AC⊥平面AE，且四邊形ABCD與四邊形ABEF都是正方形，則異面直線AC與BF所成角的大小是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．
（1）求證：SA⊥CD；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成450角的平面截球O的表面得到圓C，若圓C的面積等于
7π
8
，則球O的半徑等于______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知四面體ABCD的六條棱長都是1，則直線AD與平面ABC的夾角的余弦值為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（　　）
A．
2
2
B．
15
5
C．
6
4
D．
6
3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為
3
3
，M是AC的中點，則EM，DE所成角的余弦值等于______．

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同步練習冊答案
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