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如圖，三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．
（I）證明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中點D，連接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
連接DM，則∠AMD就是AM與平面PBC所成角．
設AC=BC=PA=a，則AD=
a
2
，AM=
3
a
2
，∴DM=
a
2
，
∴tan∠AMD=
AD
DM
=
2
，
∴AM與平面PBC所成角的正切值是
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，A，B，C，D為空間四點，△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，△ADB是等邊三角形．則AB與CD所成角的大小為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知正四面體ABCD的棱長為a，點O是△BCD的中心，點M是CD中點．
（1）求點A到面BCD的距離；
（2）求AB與面BCD所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=
7
，點E為線段AD上的一點．現將△DCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點E為線段AD的中點，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知，如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，且PG=4，AG=
1
3
GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）求DG與平面PBG所成角的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BDD1B1所成的角為（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
1
2
CD=2，PA=2，M，E，F分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=
π
3
，AB=CC1=2．
（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）設E是CC1的中點，求AE和平面ABC1所成角正弦值的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判斷在線段AC上是否存在點Q，使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點Q，并求
AQ
QC
的值；若不存在，說明理由．

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