Question

設等差數列{a_n}的前n項和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說明理由；
（3）設數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}．將集合A∪B中的元素從小到大依次排列，構成數列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，
由S₃=9和S₆=36，
得，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
故數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1．
（2）存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列．
∵存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列，
∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）²，
∴==2m-1+20+，
即，m，k是正整數，
∴存在正整數m，k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列，
m，k的值分別是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a_3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
a_3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
a_3k=2•3k-1=6k-1，
b_2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a_3k-2，
b_2k=3•2k-2=6k-2∉A，
∴a_3k-2=b_2k-1＜a_3k-1＜b_2k＜a_3k，k=1，2，3，…，
即當n=4k-3，k∈N^*時，c_n=6k-5；
當n=4k-2，k∈N^*時，c_n=6k-3；
當n=4k-1，k∈N^*時，c_n=6k-2；
當n=4k，k∈N^*時，c_n=6k-1．
∴{c_n}的通項公式是c_n=，
即．
分析：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，由S₃=9和S₆=36，得，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（2）存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列．由a_m，a_m+5，a_k成等比數列，知（2m-1）（2k-1）=（2m+9）²，解得，m，k是正整數，由此能求出m，k的值．
（3）由a_3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，a_3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，a_3k=2•3k-1=6k-1，b_2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a_3k-2，b_2k=3•2k-2=6k-2∉A，由此能求出{c_n}的通項公式．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．