Question

如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；

（2）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)1;（2）或或或．

【解析】

試題分析：（1）直線與橢圓（圓錐曲線）相交和直線與圓相交的問題有區別，直線與圓相交可以利用圓的一些性質，用幾何方法解決問題，而直線與橢圓（圓錐曲線）相交只能用解析法解題。這里直接求出兩點有坐標（用表示），求出三角形的面積，相當于把的面積表示成了的函數，然后用不等式的知識或函數知識求出最大值。（2）同樣把直線方程與橢圓方程聯立，消去，得出關于的二次方程，兩點的橫坐標就是這個方程的兩解，故必須滿足，而線段的長，再求出原點到直線的距離，利用面積，列出關于的方程組，解出，即直線的方程。

試題解析：解：設點A的坐標為(，點B的坐標為，

由，解得

所以

當且僅當時，．S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由得

　　　　　　　①

｜AB｜＝           ②

又因為O到AB的距離　　所以　　③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式檢驗，△＞0

故直線AB的方程是

或或或．

考點：直線與橢圓相交，弦長公式。