Question

已知等邊三角形的一個頂點位于拋物線y²=x的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為

2-

3

或2+

3

．

Answer 1

分析：根據題意和拋物線以及正三角形的對稱性，可推斷出兩個邊的斜率，進而表示出這兩條直線，與拋物線聯立，求交點的坐標，從而得解．

解答：解：y²=x的焦點F（

1

4

，0）
等邊三角形的一個頂點位于拋物線y²=x的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，
則等邊三角形關于x軸對稱，兩個邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-

1

4

），
與拋物線y²=x聯立，可得

1

3

(x-

1

4

)2=x
∴x=

7±4 3

4

當x=

7+4 3

4

時，y=±

2+ 3

2

，∴等邊三角形的邊長為2+

3

當x=

7-4 3

4

時，y=±

2- 3

2

，∴等邊三角形的邊長為2-

3

故答案為：2+

3

或2-

3

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線與正三角形的對稱性，考查學生的計算能力，屬于基礎題．